导数的定义与表示

物理学中，我们经常需要求一些物理量的变化率，而数学中的导函数是专门研究变化率的工具。

令是关于的函数，则在任一点，关于的导函数的定义如下：

求导函数的过程简称求导，而称为导函数对应的原函数.

(资料图)

导函数的表示符号有很多，物理中常用的有2种：

由此我们可以得到

特别地，在物理中，如果是对时间求导，我们可以在物理量上加一点表示：

不难看出，函数的导函数也可以有自己的导函数，我们可以把求导函数的次数叫做阶，如果对求2次导数，就叫做求的二阶导数。对应的符号分别表示为：

如果是对时间求2次导数，可以在物理量上方加2个点：

由基本定义以及极限的运算，我们可以求得一些基本初等函数的导数：

当时，

当时，结果符合上式.

特殊地，当a=e时，(e^x)'=e^x.

特殊地，当时，

导数运算法则

利用导函数的定义，我们容易得到以下运算法则：

四则运算

1.加减

2.数乘

3.乘法

4.除法

复合函数

复合函数求导一直是难点中的难点，比如求的导函数，需要注意是正弦函数和幂函数的复合函数，令，则

隐函数

形如的函数，我们称为显函数，相应的，有些函数并没有表示成的形式，比如.我们称之隐函数。

在对隐函数求导时，我们依然可以采用上述求导法则，比如上式，

代入得

反函数

用因变量来表示自变量的函数，我们称为对应函数的反函数。的反函数，可以表示为反函数导数等于原函数导数的倒数

比如对数函数的导数

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